通常的AdS/CFT模型中，场论需要取大N极限。

考虑CFT中的一个single trace 算符， 它的k点函数满足 O(N2?k)O(N^{2-k}) ，因此取大N极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让single trace算符具有合理的大N极限， 我们可以定义一个减除过后的single trace算符

W=TrW??TrW?\mathcal{W}=Tr W-\langle Tr W\rangle

此时因为在大N极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。

考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数 AL,0,AR,0\mathcal{A}_{L,0}, \mathcal{A}_{R,0}, 它是定义在边界上的 .根据对偶关系，有

AL,0=Al,0.AR,0=Ar,0\mathcal{A}_{L,0}=\mathcal{A}_{l,0}. \mathcal{A}_{R,0}=A_{r,0}

因此边界上的single trace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。

那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？

通常对于一个热场二重态

|TFD?=∑ie?βEi/2|Ei?L|Ei?R|TFD\rangle=\sum_{i}e^{-\beta E_{i}/2}|E_{i}\rangle_{L}|E_{i}\rangle_{R}

它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个TFD的参数 β\beta 描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在AdS时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于Hawking-page温度这个描述才是成立的。

T＞TpageT＞T_{page}

而在page温度以下，时空处于AdS真空态。对于真空态，大N极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大N下满足von-Neumann I∞I_{\infty} ，而当温度大于page温度之后，其大N极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大N极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemble对偶具有重要意义） 表现在代数上，意味着此时在大N极限下，von-Neumann代数会变成type III1\mathrm{III_{1}} 的. 同时TFD态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于TFD态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造Hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是type III\mathrm{III} 型的代数。

以上在取大N极限之后，演生出了一个type III1\mathrm{III_{1}} 的von-Neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量

HR′=HR??HR?H_{R}'=H_{R}-\langle H_{R}\rangle

因为 ?HR′2?～N2\langle H_{R}'^{2}\rangle \sim N^{2} , 这个哈密顿量依然没有大N极限。为了定义它在大N极限下表现良好，可以定义

U=1NHR′U=\frac{1}{N}H_{R}' , 在大N下U不为0也不发散，因此具有良好的大N极限。而对于 V∈AR,0\mathcal{V} \in \mathcal{A}_{R,0} ,有如下关系

[U,V]=1N[HR,V]=?iN?V?t[U,\mathcal{V}]=\frac{1}{N}[H_{R},\mathcal{V}]=-\frac{i}{N} \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial t}

取 N→∞N \to \infty ,我们发现 [U,V]→0[U,\mathcal{V}] \to 0 , 因此U是 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 这个代数的center。并且因为U和其他算符都对易，不满足 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 中的元素要求，所以扩充后的代数结构为 AR=AR,0?AU\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{R,0} \otimes \mathcal{A}_{U} . 作用的空间为 HTFD?L2(R)\mathcal{H}_{TFD}\otimes L^{2}(R) . 此时的代数依然是type III\mathrm{III} 的，但是因为它具有了一个非平庸的center，因此不再是一个factor。 一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的center。

冯诺依曼代数简介及其转变（二）：代数转变和引力

有趣的事情发生下 1/N1/N 阶，此时根据对易关系

[HR′/N,a]=(?i/N)?ta[H_{R}'/N,a]=(-i/N)\partial_{t}a ，此时因为考虑 O(1/N)O(1/N) 的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为U，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得

1NHR′=U+1βNh^\frac{1}{N}H_{R}'=U+\frac{1}{\beta N} \hat{h}

其中 h^\hat{h} 是modular Hamiltonian， 它的定义如下

h^=∫SdΣνVμTμν\hat{h}=\int_{S} d\Sigma^{u}V^{\mu} T_{\muu}

它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。

因此考虑原来的算符集合，加入 U+h^/βNU+\hat{h}/\beta N 算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符 AR,0\mathcal{A}_{R,0} 不再对易，因此不会形成一个直积的结构, 实际上 U+h^/βNU+\hat{h}/\beta N 产生的是一个外自同态（outer automorphism) 的结构，所以实际上代数为 AR=Ar,0?AU+h^/βN\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{r,0} \rtimes \mathcal{A}_{U+\hat{h}/\beta N} .

外自同态(outer automorphism)的定义如下：

考虑一个 H\mathcal{H} 上的算符T， 如果 ?a∈A,s∈R\forall a \in \mathcal{A}, \quad s \in R , 都有

eiTsae?iTS∈Ae^{iT s}a e^{-iT S} \in \mathcal{A}

再考虑一个扩充的希尔伯特空间 H?L2(R)\mathcal{H} \otimes L^{2}(R) ,此时有一个更大的代数 A?R\mathcal{A} \rtimes R ，它的生成元为 a?1,eisT?eisXa \otimes 1, e^{is T}\otimes e^{is X} 或者是 aeisT?eisXae^{is T} \otimes e^{is X}

当T属于 A\mathcal{A} 的时候，生成的自同态叫做inner的，而当 TT 不属于 A\mathcal{A} 的时候，生成的自同态是outer的。

如果这个自同态结构是通过 h^\hat{h} 形成的，那么此时这个R叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的single trace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。

一个数学定理说的是： 对于一个type III1III_{1} 的factor，它和其外模自同态群（outer automorhphism）形成的代数结构 AR=Ar,0?AU+h^/βN\mathcal{A}_{R}=\mathcal{A}_{r,0} \rtimes \mathcal{A}_{U+\hat{h}/\beta N} 是一个type II∞\mathrm{II}_{\infty} 的von Neumann代数。 它也是一个factor。

type II的代数和type III的代数的一个重要不同在于，type II代数具有求迹的结构，而type III代数没有。因此当代数转变为type II的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。

下面来探索，此时定义的求迹的表达式的形式：

考虑扩充的希尔伯特空间中的态 Ψ^=Ψ?g1/2(X)\hat{\Psi}=\Psi\otimes g^{1/2}(X) , 其中 Ψ\Psi 是关于代数 Ar,0\mathcal{A}_{r,0} 的一个cyclic-seperating的态，因为 g1/2g^{1/2} 是恒正的，因此 Ψ^\hat{\Psi} 也是一个cyclic-seperating的态。

对于 Ar,0\mathcal{A}_{r,0} 有一个modular 算符 ΔΨ\Delta_{\Psi} , 满足如下的关系

?Ψ|ab|Ψ?=?Ψ|bΔΨa|Ψ?\langle \Psi|ab|\Psi\rangle=\langle \Psi|b \Delta_{\Psi}a |\Psi\rangle

冯诺依曼代数简介及其转变（二）：代数转变和引力

证明比较简单

?Ψ|bΔΨa|Ψ?=?Ψ|bSΨ?SΨa|Ψ?=?b?Ψ|SΨ?|SΨaΨ?=?a?Ψ|SΨ|b?Ψ?=?Ψ|ab|Ψ?\langle \Psi|b \Delta_{\Psi}a |\Psi\rangle=\langle \Psi| b S^{\dagger}_{\Psi} S_{\Psi} a|\Psi \rangle =\langle b^{\dagger}\Psi|S_{\Psi}^{\dagger}|S_{\Psi}a\Psi\rangle=\langle a^{\dagger}\Psi|S_{\Psi}|b^{\dagger}\Psi\rangle=\langle \Psi|ab|\Psi\rangle

其中用到了Modular 算符的表达式 ΔΨ=SΨ?SΨ\Delta _{\Psi}=S_{\Psi}^{\dagger}S_{\Psi} , 以及 SΨS_{\Psi} 是一个反线性算符。

如果定义 au=eih^Ψuae?ih^Ψua_{u}=e^{i\hat{h}_{\Psi} u} a e^{-i \hat{h}_{\Psi} u} , 那么也可以得到KMS关系 ?Ψ|aub|Ψ?=?Ψ|bau+i|Ψ?\langle \Psi|a_{u}b|\Psi\rangle=\langle \Psi|b a_{u+i}|\Psi\rangle

而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的modular算符 Δ^Ψ^\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}

?Ψ^|a^b^|Ψ^?=?Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^?\langle \hat{\Psi}|\hat{a}\hat{b}|\hat{\Psi}\rangle=\langle \hat{\Psi}|\hat{b}\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}\hat{a}|\hat{\Psi}\rangle , 此时 a^,b^∈Ar,0?Ah^Ψ+X\hat{a}, \hat{b} \in \mathcal{A_{r,0}}\rtimes \mathcal{A}_{\hat{h}_{\Psi}+X} , 记 X=βNUX=\beta N U

因为此时 a^=aeis(h^Ψ+X)\hat{a}=a e^{is (\hat{h}_{\Psi}+X)} ,容易验证扩充后的modular算符的表达式为

Δ^Ψ^=ΔΨg(h^Ψ+X)g(X)?1\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}=\Delta_{\Psi} g(\hat{h}_{\Psi}+X) g(X)^{-1}

这个公式意味着它可以拆分为两部分 Δ^Ψ^=K~K\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}=\tilde{K}K

K=Δe?Xg(h^Ψ+X),K~=eXg(X)K=\Delta e^{-X} g(\hat{h}_{\Psi}+X), \quad \tilde{K}=\frac{e^{X}}{g(X)}

有了以上的准备工作，可以给出对于 A?R\mathcal{A} \rtimes R 上的算符 a^\hat{a} 的trace

Tra^=?Ψ^|a^K?1|Ψ^?Tr \hat{a}=\langle \hat{\Psi}|\hat{a}K^{-1} |\hat{\Psi}\rangle

可以验证它确实满足trace的定义

Tra^b^=?Ψ^|a^b^K?1|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^|Ψ^?=?Ψ^|b^K?1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^?1|Ψ^?Tr\hat{a}\hat{b} =\langle \hat{\Psi}|\hat{a}\hat{b} K^{-1}|\hat{\Psi}\rangle=\langle \hat{\Psi}|\hat{b}K^{-1}\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}\hat{a}|\hat{\Psi}\rangle=\langle \hat{\Psi}|\hat{b}K^{-1}\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}\hat{a} \hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}^{-1}|\hat{\Psi}\rangle

带入 Δ^Ψ^=K~K\hat{\Delta}_{\hat{\Psi}}=\tilde{K}K ,就可以知道

Tr(a^b^)=?Ψ^|b^a^K?1|Ψ^?=Tr(b^a^)Tr(\hat{a}\hat{b})=\langle \hat{\Psi}|\hat{b}\hat{a}K^{-1}|\hat{\Psi}\rangle=Tr(\hat{b}\hat{a})

这里用到了 K~\tilde{K} 和a对易。

利用 ΔΨΨ=Ψ,h^Ψ|Ψ?=0\Delta_{\Psi}\Psi=\Psi, \quad \hat{h}_{\Psi}|\Psi\rangle=0 , 求迹操作的定义可以写为如下简单的形式

Tr(a^)=?Ψ^|a^eXg(X)|Ψ^?=∫?∞∞dXeX?Ψ|a^|Ψ?Tr(\hat{a})=\langle \hat{\Psi}|\hat{a}\frac{e^{X}}{g(X)}|\hat{\Psi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} dX e^{X}\langle \Psi|\hat{a}|\Psi\rangle

有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于Hilbert空间的态 |Φ?∈H|\Phi\rangle \in \mathcal{H} , 可以定义 ρ∈A\rho \in \mathcal{A}

?Φ|a|Φ?=Tr(ρa)\langle \Phi| a |\Phi\rangle=Tr(\rho a)

由以上定义可以看出，对于cyclic seperating的态 |Ψ^?|\hat{\Psi}\rangle ,密度矩阵就是 K. 得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵

S(ρ)=?Tr(ρlogρ)S(\rho)=-Tr(\rho log \rho)